gradient

Numerical derivatives

Introduction

It approximates the partial derivatives $\partial f/\partial x_k$ for $k=1,2,\ldots,N$ of a function $f$ of $N$ variables. If $x_k$ is in the interior, it uses the central difference:

If $x_k$ is at the left boundary, it uses the one-sided difference:

If $x_k$ is at the right boundary, it uses the one-sided difference:

Usage

D1 = gradient(F)

D1 = gradient(F, h)

[D1, D2, ..., DN] = gradient(F)

[D1, D2, ..., DN] = gradient(F, h)

• F is an array of values of $f$ evaluated on grid points.
• h should be a scalar (real or complex) specifying the spacing such that $h=h_1=h_2=\cdots=h_N$. It can be complex and is assumed 1 if h is not provided.
• When F is a vector (or scalar), it considers $f$ as a univariate function and D1 will contain the numerical derivatives $\partial f/\partial x_1$. Otherwise, it considers $f$ as a multi-variate function and D1, D2, ..., DN will contain the numerical derivatives $\partial f/\partial x_1,\partial f/\partial x_2,\ldots,\partial f/\partial x_N$, respectively, where $N$ is equal to ndims(F). The $x_1$ and $x_2$ directions are the horizontal and vertical directions of F, respectively.
• It throws an error if there are more than ndims(F) output arguments, i.e., N > ndims(F).

[D1, D2, ..., DN] = gradient(F, h1, h2, ..., hN)

• This is the same as [D1, D2, ..., DN] = gradient(F) above, except that $h_1,h_2,\ldots,h_N$ are specified by h1, h2, ..., hN, respectively.
• It throws an error if there are more than ndims(F) is not equal to $N$.

Examples

• Numerical derivatives of a linear function $f(x_1,x_2,x_3)=x_1+x_2+x_3$. The spacing is h = 0.6.

Input

[X1,X2,X3]=ndgrid(-1:0.6:0.8);
F=X1+X2+X3;
[D1,D2,D3]=gradient(F,0.6)

Output

D1(:, :, 1) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000

D1(:, :, 2) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000

D1(:, :, 3) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000

D1(:, :, 4) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000

D2(:, :, 1) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000

D2(:, :, 2) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000

D2(:, :, 3) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000

D2(:, :, 4) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000

D3(:, :, 1) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000

D3(:, :, 2) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000

D3(:, :, 3) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000

D3(:, :, 4) = 

1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000
1.000   1.000   1.000   1.000